非零复数构成的乘法群在 $\mathbb{C}^{n+1}$ 上的作用
设 $G=\mathbb{C}^*$ 在 $\mathbb{C}^{n+1}$ 上的作用为
\[\lambda.v:=\lambda v,\quad \lambda\in\mathbb{C}^*,\ v\in\mathbb{C}^{n+1}.\]
设 $X$ 是由该作用生成的所有轨道组成的空间, 轨道即等价类. 任取两个点 $z,w\in\mathbb{C}^{n+1}$,
\[z\sim w\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbb{C}^*,\ \text{s.t.}\ z=\lambda w.\]
因此
\[X=\{X_v\mid v\in\mathbb{C}^{n+1}\},\qquad X_v=\{\lambda v\mid \lambda\in\mathbb{C}^*\}\]
证明: 在商拓扑之下, 包含 $[0]$ 的开集仅有 $X$ 本身. 从而 $X$ 不是 Hausdorff 的. 而 $X\setminus [0]$ 是 Hausdorff 的, 而且是紧的. 这就是复射影空间 $\mathbb{C}P^n$.